Чтобы найти радиус вписанной окружности правильного треугольника, зная радиус описанной окружности, воспользуемся следующими свойствами правильного треугольника.

Для правильного треугольника:

Радиус описанной окружности ( R ) связан с длиной стороны ( a ) следующим образом:
[
R = \frac{a}{\sqrt{3}}
]

Радиус вписанной окружности ( r ) для правильного треугольника связан с длиной стороны ( a ) следующим образом:
[
r = \frac{a}{2\sqrt{3}}
]

Сначала выразим длину стороны ( a ) через радиус описанной окружности ( R ):
[
R = 10\sqrt{3} \implies a = R \cdot \sqrt{3} = 10\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 30 \text{ см}
]

Теперь подставим длину стороны ( a ) в формулу для радиуса вписанной окружности ( r ):
[
r = \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{30}{2\sqrt{3}} = \frac{30}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{30\sqrt{3}}{6} = 5\sqrt{3} \text{ см}
]

Итак, радиус вписанной окружности равен:
[
\boxed{5\sqrt{3}} \text{ см}
]