Для решения задачи сначала найдем радиус основания конуса, используя теорему Пифагора. Обозначим:

( h ) — высота конуса,( r ) — радиус основания,( l ) — образующая конуса.

Дано, что:

( h = 15 ),( l = 17 ).

По теореме Пифагора мы имеем:

[
l^2 = r^2 + h^2
]

Подставим известные значения:

[
17^2 = r^2 + 15^2
]
[
289 = r^2 + 225
]
[
r^2 = 289 - 225 = 64
]
[
r = \sqrt{64} = 8
]

Теперь, зная радиус, найдем диаметр основания конуса:

[
d = 2r = 2 \times 8 = 16
]

Теперь найдем площадь поверхности конуса. Площадь поверхности ( S ) конуса складывается из площади основания и боковой площади:

[
S = S{основания} + S{боковая}
]

Площадь основания ( S_{основания} ):

[
S_{основания} = \pi r^2 = \pi \cdot 8^2 = 64\pi
]

Боковая площадь ( S_{боковая} ):

[
S_{боковая} = \pi r l = \pi \cdot 8 \cdot 17 = 136\pi
]

Теперь можем найти полную площадь поверхности:

[
S = 64\pi + 136\pi = 200\pi
]

Подводя итог, мы получили:

Диаметр основания конуса: ( 16 ).Площадь поверхности конуса: ( 200\pi ).