Вот пример задачи из области логистики, которая может быть решена с помощью системы уравнений, включающей показательные или логарифмические функции:

Задача:

В небольшом городе два магазина продают один и тот же товар, и динамика их продаж описывается показательной моделью.

В первом магазине в начале месяца было продано 100 единиц товара, и продажи увеличиваются на 10% каждую неделю.Во втором магазине в начале месяца было продано 80 единиц товара, и его продажи также увеличиваются, но на 15% каждую неделю.

Определите, через сколько недель продажи в обоих магазинах станут равны.

Математическая модель:

Пусть ( n ) — количество недель.

Для первого магазина, продажи через ( n ) недель можно выразить как:

[ P_1(n) = 100 \cdot (1 + 0.1)^n ]

Для второго магазина:

[ P_2(n) = 80 \cdot (1 + 0.15)^n ]

Необходимо найти ( n ), для которого ( P_1(n) = P_2(n) ):

[ 100 \cdot (1.1)^n = 80 \cdot (1.15)^n ]

Решение:

Разделите обе стороны на 80:
[ \frac{100}{80} \cdot (1.1)^n = (1.15)^n ]

Упростите:
[ 1.25 \cdot (1.1)^n = (1.15)^n ]

Примените логарифм для обеих сторон:
[ \log(1.25) + n \cdot \log(1.1) = n \cdot \log(1.15) ]

Решите уравнение относительно ( n ):
[ \log(1.25) = n \cdot (\log(1.15) - \log(1.1)) ]

Наконец, найдите ( n ):
[ n = \frac{\log(1.25)}{\log(1.15) - \log(1.1)} ]

В данном случае решение будет зависеть от логарифмических значений, которые можно найти с помощью калькулятора или таблиц логарифмов.

Эта задача иллюстрирует использование показательных функций и логарифмов для моделирования динамики продаж и нахождения точки их пересечения.