Чтобы найти площадь боковой поверхности пирамиды KLMN, нам нужно сначала рассчитать площадь каждого из треугольников, формирующих боковые стороны пирамиды.

Найдите длину катета MN. Поскольку LMN - это прямоугольный треугольник и у нас есть длины катетов LM и LN, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения MN:

[
LN^2 = LM^2 + MN^2
]

Подставим известные значения:

[
48^2 = 42^2 + MN^2 \
2304 = 1764 + MN^2 \
MN^2 = 2304 - 1764 = 540 \
MN = \sqrt{540} = 6\sqrt{15}
]

Найдите площадь каждого из боковых треугольников. У нас есть четыре боковых треугольника: KLM, KMN, KLN и KLMN.Площадь треугольника KLM:

[
S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot LM \cdot KL = \frac{1}{2} \cdot 42 \cdot 40 = 840
]

Площадь треугольника KMN:

[
S_{KMN} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot KL = \frac{1}{2} \cdot (6\sqrt{15}) \cdot 40 = 120\sqrt{15}
]

Площадь треугольника KLN:

[
S_{KLN} = \frac{1}{2} \cdot LN \cdot KL = \frac{1}{2} \cdot 48 \cdot 40 = 960
]

Сложите площади всех боковых треугольников:

[
S{\text{боковая}} = S{KLM} + S{KMN} + S{KLN}
]
[
S{\text{боковая}} = 840 + 120\sqrt{15} + 960
]
[
S{\text{боковая}} = 1800 + 120\sqrt{15}
]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды KLMN равна ( 1800 + 120\sqrt{15} ).