Давайте решим данное математическое выражение шаг за шагом.

Выражение: ( 2 \frac{1}{3} : \left( \frac{5}{8} - \frac{8}{3} \right) - 2 \cdot 1 \frac{3}{7} )

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

[
2 \frac{1}{3} = \frac{7}{3}
]

[
1 \frac{3}{7} = \frac{10}{7}
]

Теперь наше выражение выглядит так:

[
\frac{7}{3} : \left( \frac{5}{8} - \frac{8}{3} \right) - 2 \cdot \frac{10}{7}
]

Далее, вычислим ( \frac{5}{8} - \frac{8}{3} ). Для этого находим общий знаменатель, который равен 24:

[
\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}
]

[
\frac{8}{3} = \frac{8 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{64}{24}
]

Теперь вычтем дроби:

[
\frac{15}{24} - \frac{64}{24} = \frac{15 - 64}{24} = \frac{-49}{24}
]

Подставим это обратно в выражение:

[
\frac{7}{3} : \left( \frac{-49}{24} \right) - 2 \cdot \frac{10}{7}
]

Деление на дробь эквивалентно умножению на ее обратную:

[
\frac{7}{3} \cdot \left( \frac{-24}{49} \right)
]

Упрощаем:

[
= \frac{7 \cdot -24}{3 \cdot 49} = \frac{-168}{147}
]

Давайте упростим дробь:

[
\frac{-168}{147} = \frac{-56}{49} = \frac{-8}{7}
]

Теперь вычисляем ( - 2 \cdot \frac{10}{7} ):

[
-2 \cdot \frac{10}{7} = -\frac{20}{7}
]

Теперь предстает задача сложить ( \frac{-8}{7} - \frac{20}{7} ):

[
= \frac{-8 - 20}{7} = \frac{-28}{7} = -4
]

Таким образом, итоговый ответ:

[
\boxed{-4}
]