Для решения неравенства ( \cot x \geq \sqrt{3} ) с использованием тригонометрического круга, сначала давайте вспомним, как связаны значения котангенса и углов в тригонометрии.

Определение котангенса: Котангенс угла ( x ) равен ( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} ). Он положителен в первую и третью четвертях, и отрицателен во второй и четвертой.

Определение угла: Условие ( \cot x \geq \sqrt{3} ) значит, что ( \cot x ) может быть равно ( \sqrt{3} ) или больше. Чтобы найти углы, при которых это происходит, нам нужно найти углы, для которых ( \cot x = \sqrt{3} ).

Находим углы: Значение ( \cot x = \sqrt{3} ) соответствует углу ( x = \frac{\pi}{6} ), поскольку
[
\cot\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\tan\left(\frac{\pi}{6}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3}
]

График котангенса: Функция котангенса падает на интервале от ( 0 ) до ( \pi ). Она имеет значения, стремящиеся к бесконечности при подходе к нулю (из положительных значений), и к минус бесконечности, когда ( x ) приближается к ( \pi ).

Стороны неравенства: Мы наблюдаем, что график ( \cot x ) пересекает значение ( \sqrt{3} ) в точках:
[
x = \frac{\pi}{6}, \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{6} \quad (\text{поскольку } \cot \text{ периодична, } \text{ ее период } \pi)
]

Определяем интервалы: Теперь рассмотрим, где ( \cot x ) больше или равно ( \sqrt{3} ):

В интервале ( (0, \frac{\pi}{6}) ), ( \cot x ) положителен и убывающий от ( +\infty ) до ( \sqrt{3} ).В интервале ( (\frac{\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}) ), ( \cot x ) убывает до минус бесконечности.В интервале ( (\frac{7\pi}{6}, 2\pi) ), ( \cot x ) вновь становится положительным и убывает.

Записываем решение: Таким образом, решение неравенства ( \cot x \geq \sqrt{3} ):
[
x \in \left[0, \frac{\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{7\pi}{6}, 2\pi\right] + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
]

То есть, ( x ) может принимать значения в этих интервалах с добавлением целого числа ( n ) от ( \pi ), чтобы охватить все такие повторы по кругу.

Таким образом, мы находим решение для ( \cot x \geq \sqrt{3} ) с использованием тригонометрического круга.