Чтобы решить неравенство (\tan(x) \geq 1), начнем с определения, что означает данное неравенство. Это означает, что тангенс угла (x) должен быть равен или больше 1.

Шаг 1: Определение углов

Неравенство (\tan(x) = 1) достигается в следующих точках:

[
x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}
]

здесь (k) — целое число, которое указывает, сколько раз мы обходим круговой путь (180° или (\pi) радиан).

Шаг 2: Определение интервалов

Тангенс — это положительная функция в первом квадранте (от 0 до (\frac{\pi}{2})) и во втором-в третьем квадранте (от (\pi) до (\frac{3\pi}{2})). Рассмотрим график функции тангенса:

На интервале (\left(0, \frac{\pi}{2}\right)) — тангенс принимает значения от 0 до (\infty) и пересекает 1 в (\frac{\pi}{4}).На интервале (\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)) — тангенс убывает от (-\infty) до 0, и не пересекает 1.На интервале (\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)) — тангенс снова принимает значения от 0 до (\infty), и пересекает 1 в ( \frac{5\pi}{4} ).На интервале (\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right)) — тангенс убывает от (-\infty) до 0, и не пересекает 1.

Следовательно, (\tan(x) \geq 1) для следующих интервалов:

(\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right))(\left[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right))И так далее, добавляя (\pi) для каждого нового круга.Шаг 3: Составление общего решения

Объединим найденные интервалы:

[
x \in \left[\frac{\pi}{4} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi\right) \quad \text{или} \quad x \in \left[\frac{5\pi}{4} + k\pi, \frac{3\pi}{2} + k\pi\right), \quad k \in \mathbb{Z}
]

Это и есть общее решение неравенства (\tan(x) \geq 1).