Чтобы изучить неравенство ( \sin x < 0 ), начнем с определения, где функция синуса принимает отрицательные значения.

Шаг 1: Определение области

Функция ( \sin x ) отрицательна в следующих интервалах:

от ( 180^\circ ) до ( 360^\circ ) (или от ( \pi ) до ( 2\pi ) радиан) в пределах одного полного оборота (0 до ( 2\pi )).Это свойство периодической функции позволяет утверждать, что синус будет отрицателен и в других периодах, то есть, в интервалах:
[
\sin x < 0 \text{ для } x \in (k \cdot 2\pi + \pi, k \cdot 2\pi + 2\pi), \; k \in \mathbb{Z}
]Шаг 2: Запись общего решения

Общее решение для неравенства ( \sin x < 0 ) можно записать следующим образом:
[
x \in (2k\pi + \pi, 2k\pi + 2\pi), \; k \in \mathbb{Z}
]

Шаг 3: Примеры решения

Если ( k = 0 ):
[
x \in (\pi, 2\pi) \approx (3.14, 6.28)
]

Если ( k = 1 ):
[
x \in (2\pi + \pi, 2\pi + 2\pi) = (3\pi, 4\pi) \approx (9.42, 12.56)
]

Если ( k = -1 ):
[
x \in (-2\pi + \pi, -2\pi + 2\pi) = (-\pi, 0) \approx (-3.14, 0)
]

Таким образом, мы показали, что ( \sin x < 0 ) в определенных интервалах, которые можно обобщить для всех целых ( k ).

Заключение

Решение неравенства ( \sin x < 0 ) включает любые значения ( x ) в интервалах:
[
x \in (2k\pi + \pi, 2k\pi + 2\pi), \; k \in \mathbb{Z}
]
Это формализует, где синус принимает отрицательные значения на круге тригонометрии.