Для исследования функции ( y = \frac{1}{3}x^3 - x ), в первую очередь, найдем её производную, чтобы определить критические точки и поведение функции.

Найдем производную: [
y' = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{3} x^3 - x \right) = x^2 - 1.
]

Найдем критические точки:
Установим производную равной нулю:
[
x^2 - 1 = 0.
]
Решая, получаем:
[
x^2 = 1 \implies x = 1 \quad \text{и} \quad x = -1.
]

Определим интервалы возрастания и убывания:
Анализируя знак производной ( y' = x^2 - 1 ):

Для ( x < -1 ): ( y' > 0 ) (функция возрастает).Для ( -1 < x < 1 ): ( y' < 0 ) (функция убывает).Для ( x > 1 ): ( y' > 0 ) (функция возрастает).

Таким образом, функция имеет максимум при ( x = -1 ) и минимум при ( x = 1 ).

Найдем значение функции в критических точках:

При ( x = -1 ):
[
y(-1) = \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}.
]

При ( x = 1 ):
[
y(1) = \frac{1}{3}(1)^3 - 1 = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}.
]

Найдем значение функции при ( x = 0 ): [
y(0) = \frac{1}{3}(0)^3 - 0 = 0.
]

Анализируем поведение на границах:

При ( x \to -\infty ): ( y \to -\infty ).При ( x \to +\infty ): ( y \to +\infty ).

Построение графика:
Учитывая критические точки и значения функции, мы можем провести график.

График функции ( y = \frac{1}{3}x^3 - x ) будет иметь:

Максимум в точке ( (-1, \frac{2}{3}) ).Минимум в точке ( (1, -\frac{2}{3}) ).Пересечение с осью ( y ) в точке ( (0, 0) ).

Вот примерный график этой функции:

|
| * (-1, 2/3) (максимум)
| *
| *
| *
| *
|----*---*---*---*---*---*---*------> x
| (-1) (1)
| *
| *
| *
| *
| * (1, -2/3) (минимум)
|
|

На графике показаны основныеTurning Points и поведение функции. Вы можете воспользоваться программами, такими как Desmos или GeoGebra, чтобы увидеть точный график.