Дано уравнение прямой ( y = kx + b ), которое проходит через точку ( (5, 0) ). Это означает, что подставив координаты данной точки в уравнение, мы получаем:

[
0 = 5k + b
]

Соответственно, можно выразить ( b ):

[
b = -5k
]

Теперь подставим ( b ) обратно в уравнение функции:

[
y = kx - 5k
]

Коэффициент ( k ) определяет наклон прямой, а ( b ) определяет смещение по оси y. Нам также известно, что расстояние от начала координат до этой прямой равно 3. Расстояние от точки ( (x_0, y_0) ) до прямой ( Ax + By + C = 0 ) можно вычислить по формуле:

[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
]

Перепишем уравнение прямой в стандартном виде. Уравнение можно записать как:

[
-kx + y + 5k = 0
]

где ( A = -k ), ( B = 1 ), и ( C = 5k ). Теперь рассчитаем расстояние от начала координат ( (0, 0) ) до этой прямой:

[
d = \frac{|0 + 0 + 5k|}{\sqrt{(-k)^2 + 1^2}} = \frac{|5k|}{\sqrt{k^2 + 1}}
]

По условию задачи, это расстояние равно 3:

[
\frac{|5k|}{\sqrt{k^2 + 1}} = 3
]

Теперь, чтобы избавиться от дроби, умножим обе стороны на ( \sqrt{k^2 + 1} ):

[
|5k| = 3\sqrt{k^2 + 1}
]

Теперь рассмотрим два случая:

( 5k = 3\sqrt{k^2 + 1} )( 5k = -3\sqrt{k^2 + 1} )Первый случай: ( 5k = 3\sqrt{k^2 + 1} )

Квадратируем обе стороны:

[
(5k)^2 = (3\sqrt{k^2 + 1})^2
]

[
25k^2 = 9(k^2 + 1)
]

[
25k^2 = 9k^2 + 9
]

[
16k^2 = 9
]

[
k^2 = \frac{9}{16}
]

[
k = \frac{3}{4} \quad \text{или} \quad k = -\frac{3}{4}
]

Второй случай: ( 5k = -3\sqrt{k^2 + 1} )

Квадратируем обе стороны:

[
(5k)^2 = (-3\sqrt{k^2 + 1})^2
]

Считаем аналогично:

[
25k^2 = 9(k^2 + 1)
]

Здесь также окажется, что

[
16k^2 = 9
]

и опять же

[
k^2 = \frac{9}{16}
]

[
k = \frac{3}{4} \quad \text{или} \quad k = -\frac{3}{4}
]

Поскольку функция ( y = kx + b ) возрастающая и требуется, чтобы k было положительным, выберем ( k = \frac{3}{4} ).

Таким образом, окончательный ответ:

[
k = \frac{3}{4}
]