Обозначим стороны прямоугольника как ( a ) и ( b ).

Мы знаем две вещи:

Периметр ( P ) прямоугольника:
[
P = 2(a + b) = 34
]
Это уравнение можно упростить до:
[
a + b = 17 \quad \text{(1)}
]

Площадь ( S ) прямоугольника:
[
S = a \cdot b = 60 \quad \text{(2)}
]

Теперь у нас есть система уравнений:
[
\begin{cases}
a + b = 17 \
a \cdot b = 60
\end{cases}
]

Решим систему уравнений. Из первого уравнения выразим ( b ):
[
b = 17 - a
]

Подставим это выражение во второе уравнение:
[
a \cdot (17 - a) = 60
]
Раскроем скобки:
[
17a - a^2 = 60
]

Перепишем уравнение в стандартной форме:
[
-a^2 + 17a - 60 = 0
]
Умножим на (-1):
[
a^2 - 17a + 60 = 0
]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 289 - 240 = 49
]

Теперь найдем корни уравнения:
[
a = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 \pm 7}{2}
]

Получаем два корня:
[
a_1 = \frac{24}{2} = 12 \quad \text{и} \quad a_2 = \frac{10}{2} = 5
]

Следовательно, ( a = 12 ) и ( b = 5 ) (либо наоборот).

Таким образом, стороны прямоугольника:
[
a = 12 \, \text{сантиметров}, \quad b = 5 \, \text{сантиметров}.
]