Для решения задачи сначала рассмотрим позиции всех указанных элементов.

Определение диаметр окружности:

Пусть O - центр окружности, MN - хорда, K и L - точки касания касательной KL с окружностью. Из условия задачи:

MN = 3,7 см∠MNO = 60°

Согласно свойству окружности, угол между радиусом и хордой равен половине угла, соответствующего этой хорде. Таким образом, мы можем установить, что:
[
∠MNO = \frac{1}{2} ∠MNR
]
Следовательно:
[
∠MNR = 2 ∙ ∠MNO = 2 ∙ 60° = 120°
]

Расчет радиуса:

Зная угол ∠MNO и длину хорды MN, можем воспользоваться формулой для радиуса R, проведя перпендикуляр из центра O к хорде MN.

Хорда разбивается на два равных отрезка:
[
\frac{MN}{2} = \frac{3,7 \, см}{2} = 1,85 \, см
]

Теперь можем воспользоваться тригонометрией. Радиус R может быть найден по формуле:
[
R = \frac{d}{2} \cdot \frac{1}{\sin(\frac{∠MNR}{2})}
]

Где (d) – длина хорды, равная 3,7 см, и угол ( \frac{∠MNR}{2} = 60°):
[
R = \frac{3,7 \, см}{2 \cdot \sin(60°)} = \frac{3,7 \, см}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3,7 \, см}{\sqrt{3}} \approx 2,13 \, см
]

Теперь, зная радиус R, находим диаметр:
[
D = 2R \approx 2 \cdot 2,13 \approx 4,26 \, см
]

Определение угла ∠NKL:

Касательная к окружности перпендикулярна радиусу в точке касания. Поскольку KL – касательная, угол ∠NKL равен:
[
∠NKL = 90 - ∠MNR
]
То есть:
[
∠NKL = 90° - 120° = -30°.
]
Однако, поскольку угол не может быть отрицательным, по этому принципу можно сказать, что:
[
∠NKL = 30°.
]

Так мы имеем:

Диаметр окружности: ≈ 4,26 см.∠MNR: 120°.∠NKL: 30°.