Рассмотрим уравнение:

[
\cos\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}
]

Значение (\frac{\sqrt{2}}{2}) соответствует углам, равным (\frac{\pi}{4}) и (\frac{7\pi}{4}). Поэтому можем записать два уравнения:

(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2k\pi), (k \in \mathbb{Z})(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi), (k \in \mathbb{Z})

Решим первое уравнение:

[
\frac{x}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi
]

[
\frac{x}{3} = \frac{\pi}{2} + 2k\pi
]

Умножим обе стороны на 3:

[
x = \frac{3\pi}{2} + 6k\pi
]

Теперь решим второе уравнение:

[
\frac{x}{3} = \frac{7\pi}{4} + \frac{\pi}{4} + 2k\pi
]

[
\frac{x}{3} = 2\pi + 2k\pi
]

Умножим обе стороны на 3:

[
x = 6\pi + 6k\pi
]

Таким образом, у нас есть два семейства решений:

(x = \frac{3\pi}{2} + 6k\pi)(x = 6\pi + 6k\pi)

где (k \in \mathbb{Z}).