Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции ( y = x^5 + 15^3 - 260x ) на отрезке ([-4; 0]) необходимо выполнить следующие шаги:

Найти производную функции ( y ).Найти критические точки, приравняв производную к нулю.Вычислить значения функции в критических точках и на границах отрезка.Сравнить полученные значения для нахождения наибольшего и наименьшего.Шаг 1: Находим производную

( y = x^5 + 15^3 - 260x )

Производная будет:

[
y' = 5x^4 - 260
]

Шаг 2: Находим критические точки

Приравняем производную к нулю:

[
5x^4 - 260 = 0
]

Решаем уравнение:

[
5x^4 = 260 \implies x^4 = \frac{260}{5} = 52 \implies x = \pm \sqrt[4]{52}
]

Посчитаем значение ( \sqrt[4]{52} ):

[
\sqrt[4]{52} = \sqrt{\sqrt{52}} \approx 3.4
]

Так как ( x = \sqrt[4]{52} ) находится вне отрезка ([-4; 0]), будем рассматривать только точки, входящие в этот отрезок.

Шаг 3: Вычисляем значения функции в критических точках и границах отрезка

Границы отрезка:

( x = -4 )( x = 0 )

Теперь найдем значение функции в этих точках.

Вычисляем ( y(-4) ):

[
y(-4) = (-4)^5 + 15^3 - 260(-4) = -1024 + 3375 + 1040 = 2391
]

Вычисляем ( y(0) ):

[
y(0) = 0^5 + 15^3 - 260(0) = 0 + 3375 + 0 = 3375
]

Шаг 4: Сравниваем значения

Значения функции на границах:

( y(-4) = 2391 )( y(0) = 3375 )

Наибольшее значение на отрезке ([-4; 0]) равно ( 3375 ) (в точке ( x = 0 )), а наименьшее значение равно ( 2391 ) (в точке ( x = -4 )).

Ответ:

Наибольшее значение: ( 3375 ) (в точке ( x = 0 ))
Наименьшее значение: ( 2391 ) (в точке ( x = -4 ))