Сумма синуса и косинуса не может превышать 1 для любых значений аргументов. Однако можно показать, что сумма ( \sin(x) + \cos(x) ) может принимать значения в пределах от (-\sqrt{2}) до (\sqrt{2}).

Для того чтобы найти максимальное значение этой суммы, можно использовать следующий подход:

Используем формулу для суммы квадратов:
[
(\sin(x) + \cos(x))^2 = \sin^2(x) + \cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) = 1 + \sin(2x)
]
Максимальное значение (\sin(2x)) равно 1, следовательно:
[
(\sin(x) + \cos(x))^2 \leq 1 + 1 = 2
]
Отсюда:
[
|\sin(x) + \cos(x)| \leq \sqrt{2}
]

Для нахождения максимума можно заметить, что:
[
\sin(x) + \cos(x) = \sqrt{2} \sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right)
]
Таким образом, максимальное значение достигается, когда (\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 1), что дает:
[
\max(\sin(x) + \cos(x)) = \sqrt{2}
]

Таким образом, сумма (\sin(x) + \cos(x)) находится в диапазоне от (-\sqrt{2}) до (\sqrt{2}), но не может превышать 1. В частности, максимальное значение (\sin(x) + \cos(x)) становится равным (\sqrt{2}), что превосходит 1, но не является четким значением, когда (x) равно (\frac{\pi}{4}) плюс (n\pi) (где (n) - целое число).