Чтобы решить уравнение ( p + q = (p - q)^3 ), начнем анализировать его.

Перепишем уравнение:

[
p + q = (p - q)^3.
]

Обозначим ( x = p - q ). Тогда ( p = x + q ). Подставим это в уравнение:

[
(x + q) + q = x^3.
]

Упрощаем:

[
x + 2q = x^3.
]

Переносим ( x ) в правую часть:

[
2q = x^3 - x.
]

Теперь делим обе стороны на 2:

[
q = \frac{x^3 - x}{2}.
]

Так как ( p ) и ( q ) должны быть простыми числами, ( x^3 - x ) должно быть четным числом (так как делится на 2). Заметим, что ( x(x^2 - 1) ) — это произведение ( x ) и двух последовательных чисел, что всегда четно.

Следовательно, ( q ) является целым числом для всех целых значений ( x ).

Проверим некоторые значения для ( x ):Если ( x = 0 ):

[
q = \frac{0^3 - 0}{2} = 0.
]
Но 0 не является простым числом.

Если ( x = 1 ):

[
q = \frac{1^3 - 1}{2} = 0.
]
Опять не подходит.

Если ( x = 2 ):

[
q = \frac{2^3 - 2}{2} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3.
]
Тогда ( p = x + q = 2 + 3 = 5 ). Оба числа 3 и 5 простые.

Если ( x = 3 ):

[
q = \frac{3^3 - 3}{2} = \frac{27 - 3}{2} = \frac{24}{2} = 12.
]
12 не является простым.

Если ( x = 4 ):

[
q = \frac{4^3 - 4}{2} = \frac{64 - 4}{2} = \frac{60}{2} = 30.
]
30 не является простым.

Если ( x = 5 ):

[
q = \frac{5^3 - 5}{2} = \frac{125 - 5}{2} = \frac{120}{2} = 60.
]
60 не является простым.

Если ( x = -1 ):

[
q = \frac{(-1)^3 - (-1)}{2} = \frac{-1 + 1}{2} = 0.
]

Если ( x = -2 ):

[
q = \frac{(-2)^3 - (-2)}{2} = \frac{-8 + 2}{2} = \frac{-6}{2} = -3.
]

Если ( x = -3 ):

[
q = \frac{(-3)^3 - (-3)}{2} = \frac{-27 + 3}{2} = \frac{-24}{2} = -12.
]

Итог:

Из рассматриваемых ( x ) находим, что единственные простые числа ( p ) и ( q ), удовлетворяющие условию ( p + q = (p - q)^3 ) это ( p = 5 ) и ( q = 3 ).

Таким образом, решением будет:

[
(p, q) = (5, 3).
]