Решим задачу поэтапно.

Обозначим записанное на доске число как ( N ).

Пусть первые две цифры числа ( N ) равны ( a ) (где ( a ) – это две цифры от 10 до 99) и остальные цифры - ( b ). Таким образом, число ( N ) можно записать как:
[
N = 100a + b
]
Здесь ( b ) - это натуральное число, ноль в начале его не может быть (поскольку ( b ) состоит из оставшихся цифр).

По условию, если стереть первые две цифры, то число уменьшится в 149 раз:
[
b = \frac{N}{149}
]

Подставим выражение для ( N ):
[
b = \frac{100a + b}{149}
]
Умножим обе стороны на 149:
[
149b = 100a + b
]
Переносим ( b ) в левую часть:
[
148b = 100a
]

Теперь выразим ( b ):
[
b = \frac{100a}{148} = \frac{50a}{74} = \frac{25a}{37}
]

Поскольку ( b ) должно быть натуральным числом, необходимо, чтобы ( 25a ) делилось на 37. Это означает, что ( a ) должно принимать такие значения, при которых ( 25a \mod 37 = 0 ).

Найдем обратное число к 25 по модулю 37. Сначала применим расширенный алгоритм Евклида, чтобы найти такие ( x ) и ( k ), что ( 25x + 37k = 1 ):
[
37 = 1 \cdot 25 + 12 \
25 = 2 \cdot 12 + 1 \
12 = 12 \cdot 1 + 0
]
Обратный ход дает нам:
[
1 = 25 - 2(37 - 1 \cdot 25) = 3 \cdot 25 - 2 \cdot 37
]
Следовательно, обратное к ( 25 ) число по модулю ( 37 ) равно ( 3 ).

Таким образом, для выражения ( 25a \equiv 0 \mod{37} ), имеем:
[
a \equiv 0 \mod{37}
]
Это означает, что ( a ) может быть ( 37 ), поскольку ( a ) – двузначное число.

Проверим:
[
a = 37 \Rightarrow b = \frac{25 \cdot 37}{37} = 25
]
Таким образом, ( N = 100 \cdot 37 + 25 = 3725 ).

Проверяем, является ли ( 3725 ) нечетным. Да, оно нечетное!

Таким образом, на данный момент найдено одно из возможных чисел ( N = 3725 ).

Поскольку ( a ) может принимать значения только ( 37 ), то это единственное подходящее число.

Итак, ответ:
[
\text{Ответ: } 3725
]