В данной задаче мы имеем три точки: A, B и C треугольника ABC, и точку O — точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам AB и BC. Зная, что BO = 12 см и угол ( ACO = 30^\circ ), мы можем найти расстояние от точки O до стороны BC.

Рассмотрим треугольник ACO. Для нахождения расстояния от точки O до стороны BC, нам необходимо найти высоту треугольника ACO, опущенную из точки O на сторону AC.

Используя определение синуса угла, мы знаем, что:

[
h = BO \cdot \sin(\angle ACO)
]

где ( h ) — это расстояние от точки O до стороны AC, а угол ( \angle ACO = 30^\circ ). Подставим известные значения:

[
h = 12 \cdot \sin(30^\circ)
]

Заметим, что ( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} ):

[
h = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}
]

Таким образом, расстояние от точки O до стороны AC составляет 6 см. Так как перпендикуляры к сторонам также равны между собой, расстояние от точки O до стороны BC также будет равно 6 см.

Итак, расстояние от точки O до стороны BC равно:

[
\boxed{6 \text{ см}}
]