Для решения задачи рассмотрим треугольник ABC, где угол C = 90°, AB = 15, и tg A = 3.

По определению тангенса угла, tg A = противолежащий катет / прилежащий катет. Обозначим:

AC = a (прилежащий катет),BC = b (противолежащий катет).

Тогда:

[ tg A = \frac{b}{a} = 3 ]

Это означает, что можно записать:

[ b = 3a ]

Также мы можем воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника ABC:

[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]

[ 15^2 = a^2 + b^2 ]

Подставляем b = 3a:

[ 15^2 = a^2 + (3a)^2 ]
[ 225 = a^2 + 9a^2 ]
[ 225 = 10a^2 ]
[ a^2 = \frac{225}{10} ]
[ a^2 = 22.5 ]
[ a = \sqrt{22.5} = \frac{15}{2\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{4} ]

Теперь, найдём b:

[ b = 3a = 3 \cdot \frac{15\sqrt{2}}{4} = \frac{45\sqrt{2}}{4} ]

Теперь найдём отрезок BH. Поскольку H - это основание высоты CH из угла C на сторону AB, то в прямоугольном треугольнике BHC, где BH - это противолежащий катет, а CH - это прилежащий катет.

Мы знаем, что:

[ CH = \frac{a \cdot b}{AB} = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{a \cdot b}{15} ]

Вначале найдём CH:

[ CH = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{a \cdot 3a}{15} = \frac{3a^2}{15} = \frac{3 \cdot \frac{225}{10}}{15} = \frac{3 \cdot 22.5}{15} = \frac{67.5}{15} = 4.5 ]

Теперь найдём ВН:

Согласно теореме, которая связывает высоту и отрезки, мы знаем, что:

[ BH = \frac{b \cdot CH}{AB} = \frac{b \cdot a}{15} = \frac{3a \cdot a}{15} = \frac{3a^2}{15} = \frac{3 \cdot 22.5}{15} = 4.5 ]

Таким образом, отрезок BH равен:

Ответ: ( \frac{45\sqrt{2}}{4} )