В треугольнике ABC с углом C равным 90 градусов и косинусом угла A равным 0,5 можно воспользоваться определениями тригонометрических функций.

Косинус угла A равен отношению прилежащей стороны (в данном случае это сторона AC) к гипотенузе (сторона AB):

[
\cos A = \frac{AC}{AB}
]

Если (\cos A = 0,5), это соответствует углу A равному 60 градусов (так как (\cos(60^\circ) = 0,5)).

Теперь мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника:

Сторона BC (противолежащая сторона угла A) равна 1 см.Сторона AC (прилежащая сторона к углу A) можно найти с помощью тригонометрических функций.

Сначала найдем сторону AC, используя синус:

[
\sin A = \frac{BC}{AB}
]

Согласно тригонометрии, (\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}), поэтому:

[
\frac{BC}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}
]

Подставляем известные значения:

[
\frac{1}{AB} = \frac{\sqrt{3}}{2}
]

Из этого уравнения найдём AB:

[
AB = \frac{2}{\sqrt{3}}
]

Упростим это выражение:

[
AB = \frac{2\sqrt{3}}{3}
]

Таким образом, длина гипотенузы AB составляет (\frac{2\sqrt{3}}{3}) см.