Давайте рассмотрим задачу, имея в виду, что нам нужно найти наименьшее 7-значное число ( x ), такое что ( n \times x = k^n ) для некоторого натурального числа ( k ).

Распишем это уравнение:

[
x = \frac{k^n}{n}
]

Для ( n = 7 ):

[
x = \frac{k^7}{7}
]

Теперь ( x ) должно быть 7-значным числом, так что:

[
10^6 \leq \frac{k^7}{7} < 10^7
]

Умножив оба неравенства на 7, получаем:

[
7 \times 10^6 \leq k^7 < 7 \times 10^7
]

Теперь извлечем 7-ю степень из неравенств:

[
(7 \times 10^6)^{1/7} \leq k < (7 \times 10^7)^{1/7}
]

Посчитаем значения границ:

[
(7 \times 10^6)^{1/7} \approx 10.95 \quad \text{(приблизительно)}
]
[
(7 \times 10^7)^{1/7} \approx 14.21 \quad \text{(приблизительно)}
]

Таким образом, целочисленные значения ( k ) могут быть 11, 12, 13, 14. Теперь вычислим ( x ) для каждого из них:

[
x = \frac{11^7}{7} = \frac{19487171}{7} = 2783867 \quad \text{(7-значное)}
]

[
x = \frac{12^7}{7} = \frac{35831808}{7} = 5118401 \quad \text{(7-значное)}
]

[
x = \frac{13^7}{7} = \frac{62748517}{7} = 8964074 \quad \text{(7-значное)}
]

[
x = \frac{14^7}{7} = \frac{105413504}{7} = 15059072 \quad \text{(8-значное, не подходит)}
]

Теперь сравним полученные 7-значные числа:

Наименьшее из всех найденных 7-значных чисел:

[
\text{Наименьшее 7-значное число: } 2783867
]

Таким образом, наименьшее 7-значное число, удовлетворяющее условию задачи — это ( 2783867 ).

Вранье и обман