Пусть ( ABC ) — прямоугольный треугольник с прямым углом в ( C ) и углом ( \angle A = 60^\circ ). Обозначим гипотенузу ( AB = c ), катет ( AC = a ) и катет ( BC = b ).

Согласно свойствам прямоугольного треугольника и углам, у нас есть:

[
\angle B = 90^\circ - \angle A = 30^\circ.
]

Из треугольника ( ABC ) можем получить соотношения между сторонами по известным углам:

( a = c \cdot \sin(60^\circ) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} )( b = c \cdot \sin(30^\circ) = c \cdot \frac{1}{2} )

Теперь рассмотрим середину гипотенузы ( M ). Поскольку ( M ) — середина, то ( AM = MB = \frac{c}{2} ).

Проведем перпендикуляр ( MD ) от ( M ) на катет ( AC ), где точка ( D ) — точка пересечения. Нам нужно доказать, что ( b = 3 \cdot MD ).

Теперь найдем ( MD ), используя свойства треугольников. Для этого рассмотрим треугольник ( AMD ). В нём:

( AM = \frac{c}{2} )Угол ( \angle AMB = 90^\circ ) (так как ( MD ) перпендикулярен ( AC )).

По теореме Пифагора в треугольнике ( AMD ):

[
AD^2 + MD^2 = AM^2.
]

Для нахождения длины ( AD ) можно использовать аналогичные треугольники. Поскольку ( \angle A = 60^\circ ) и ( \angle DAB = 30^\circ ) (поскольку ( AD ) и ( AC ) образуют угол, равный ( \angle A )), имеем:

[
\frac{AD}{AC} = \frac{MD}{AM}.
]

Таким образом, в треугольнике ( ACD ), где ( AD ) — высота, и используя ( AC = a ):

[
\frac{AD}{b} = \frac{MD}{\frac{c}{2}}.
]

Теперь рассмотрим:

Зная, что ( b = c \cdot \frac{1}{2} ) и ( MD = K ),Получим из соотношения, что:

[
\frac{AD}{\frac{c}{2}} = \frac{K}{\frac{c}{2}} \implies AD = 3 \cdot K.
]

Таким образом, имеем:

[
b = 3 \cdot MD. \quad \Box
]

Это и нужно было доказать. В итоге, больший катет ( b ) в три раза превышает длину перпендикуляра ( MD ).