Для доказательства того, что утверждения "число делится на 3" и "сумма его цифр делится на 3" равносильны, нам нужно рассмотреть, что происходит в десятичной системе счисления.

Рассмотрим произвольное натуральное число ( n ), которое можно представить в виде:

[
n = dk \cdot 10^k + d{k-1} \cdot 10^{k-1} + \ldots + d_1 \cdot 10^1 + d_0 \cdot 10^0
]

где ( d_i ) — это цифры числа ( n ).

Сначала докажем, что если ( n ) делится на 3, то сумма его цифр тоже делится на 3.

1. Если ( n ) делится на 3, то сумма его цифр делится на 3.

Поскольку ( n \equiv 0 \mod 3 ), то мы можем записать ( n ) как

[
n = dk \cdot 10^k + d{k-1} \cdot 10^{k-1} + \ldots + d_1 \cdot 10^1 + d_0
]

Рассмотрим, как ( 10^i ) ведет себя по модулю 3:

[
10 \equiv 1 \mod 3
]
Следовательно, для любого ( i ),

[
10^i \equiv 1 \mod 3
]

Таким образом,

[
n \mod 3 \equiv dk \cdot 1 + d{k-1} \cdot 1 + \ldots + d_1 \cdot 1 + d_0 \cdot 1 \equiv dk + d{k-1} + \ldots + d_1 + d_0 \mod 3
]

Таким образом, если ( n \equiv 0 \mod 3 ), то ( dk + d{k-1} + \ldots + d_1 + d_0 \equiv 0 \mod 3 ), что означает, что сумма цифр ( S(n) ) делится на 3.

2. Если сумма цифр ( S(n) ) делится на 3, то и ( n ) делится на 3.

Теперь предположим, что сумма цифр ( S(n) \equiv 0 \mod 3 ). По тому же рассуждению, можно записать:

[
S(n) \equiv dk + d{k-1} + \ldots + d_1 + d_0 \equiv 0 \mod 3
]

Из предшествующего анализа мы уже установили, что ( n \mod 3 \equiv dk + d{k-1} + \ldots + d_1 + d_0 \mod 3 ). Следовательно, если ( S(n) \equiv 0 \mod 3 ), то:

[
n \equiv 0 \mod 3
]

Таким образом, ( n ) делится на 3.

Заключение

Мы доказали, что (1) если число ( n ) делится на 3, то сумма его цифр делится на 3, и (2) если сумма его цифр делится на 3, то число ( n ) также делится на 3. Следовательно, утверждения "число делится на 3" и "сумма его цифр делится на 3" равносильны.