Фактически, утверждение (0! = 1) имеет свои корни в математическом определении факториала и комбинаторике.

Определение факториала: Факториал числа (n), обозначаемый как (n!), определяется как произведение всех положительных целых чисел от 1 до (n). Например:

(3! = 3 \times 2 \times 1 = 6)(2! = 2 \times 1 = 2)(1! = 1)

Рекурсивная формула: Есть также рекурсивная формула для факториала: (n! = n \times (n-1)!) для (n > 0). Если подставить (n = 1):
[
1! = 1 \times 0!
]
Поскольку мы знаем, что (1! = 1), мы можем сделать вывод:
[
1 = 1 \times 0! \implies 0! = 1
]

Комбинаторный подход: Соответственно, (0!) можно интерпретировать через комбинаторику. Например, количество способов выбрать 0 объектов из 0 доступных объектов равно 1 (существует один способ ничего не выбрать). Это ещё одно подтверждение, что (0! = 1).

Пределы и непрерывность: В общем более широком математическом контексте, факториал может быть расширен на отрицательные числа и дробные через функцию Гамма, где для (n > 0):
[
n! = \Gamma(n + 1)
]
Для (n = 0):
[
0! = \Gamma(1) = 1
]

Таким образом, используя эти различные объяснения, мы можем с уверенностью сказать, что (0! = 1).