Давайте решим уравнение ((px^4)^3 = 64x^4).

Сначала упростим левую часть уравнения:

[
(px^4)^3 = p^3 (x^4)^3 = p^3 x^{12}
]

Теперь у нас есть уравнение:

[
p^3 x^{12} = 64 x^4
]

Теперь, чтобы избавиться от (x^{12}) и (x^4), мы можем разделить обе стороны на (x^4) (при условии, что (x \neq 0)):

[
p^3 x^8 = 64
]

Теперь можно изолировать (p^3):

[
p^3 = \frac{64}{x^8}
]

Поскольку (p) и (x) являются целыми положительными числами, (x^8) должно делить 64. Давайте найдем все возможные значения (x):

Рассмотрим разложение 64 на множители:

[
64 = 2^6
]

(x^8) может принимать значения, которые являются степенями (2) и, следовательно, (x) может принимать значения (1), (2) (поскольку (3^8) и более дают слишком большие степени). Проверим эти значения:

Если (x = 1):
[
p^3 = \frac{64}{1^8} = 64 \Rightarrow p = 4
]
Тогда (p = 4).

Если (x = 2):
[
p^3 = \frac{64}{2^8} = \frac{64}{256} = \frac{1}{4} \ \text{(некорректно, так как } p \text{ должно быть целым)}
]

Таким образом, единственное корректное значение - это (x = 1) и (p = 4).

Теперь подставим значение (p) обратно в уравнение, чтобы найти (k):

(k) также является целым положительным числом. Мы не имеем дополнительного уравнения, чтобы найти (k), но так как (k) + (p) ищется как сумма с целым положительным числом, предположим, что (k) равно 1 (так как это минимальное значение, которое подходит):

[
p + k = 4 + 1 = 5
]

Таким образом, ответом будет:

[
\boxed{5}
]