Чтобы найти проекцию вектора ( \mathbf{a} ) на вектор ( \mathbf{MN} ), сначала найдем вектор ( \mathbf{MN} ).

Находим координаты вектора ( \mathbf{MN} ):
[
\mathbf{M} = (-5, 7, -6), \quad \mathbf{N} = (7, -9, 9)
]
[
\mathbf{MN} = \mathbf{N} - \mathbf{M} = (7 - (-5), -9 - 7, 9 - (-6)) = (7 + 5, -9 - 7, 9 + 6) = (12, -16, 15)
]

Теперь вектор ( \mathbf{MN} = (12, -16, 15) ).

Далее находим длину вектора ( \mathbf{MN} ):
[
|\mathbf{MN}| = \sqrt{12^2 + (-16)^2 + 15^2} = \sqrt{144 + 256 + 225} = \sqrt{625} = 25
]

Находим проекцию вектора ( \mathbf{a} ) на ( \mathbf{MN} ) по формуле:
[
\text{proj}_{\mathbf{MN}} \mathbf{a} = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{MN}}{|\mathbf{MN}|^2} \mathbf{MN}
]

Сначала найдем скалярное произведение ( \mathbf{a} ) и ( \mathbf{MN} ):
[
\mathbf{a} = (1, -3, 1)
]
[
\mathbf{a} \cdot \mathbf{MN} = 1 \cdot 12 + (-3) \cdot (-16) + 1 \cdot 15
]
[
= 12 + 48 + 15 = 75
]

Теперь вычисляем ( |\mathbf{MN}|^2 ):
[
|\mathbf{MN}|^2 = 25^2 = 625
]

Подставляем в формулу:
[
\text{proj}_{\mathbf{MN}} \mathbf{a} = \frac{75}{625} \mathbf{MN} = \frac{3}{25} \mathbf{MN} = \frac{3}{25} (12, -16, 15)
]
[
= \left( \frac{3 \cdot 12}{25}, \frac{3 \cdot (-16)}{25}, \frac{3 \cdot 15}{25} \right) = \left( \frac{36}{25}, -\frac{48}{25}, \frac{45}{25} \right)
]

Итак, проекция вектора ( \mathbf{a} ) на вектор ( \mathbf{MN} ) равна:
[
\text{proj}_{\mathbf{MN}} \mathbf{a} = \left( \frac{36}{25}, -\frac{48}{25}, \frac{45}{25} \right)
]