Чтобы найти объем тела, полученного при вращении области, ограниченной графиками $y=x^3$ и $x=y$ вокруг оси $OX$, воспользуемся методом дисков.

Сначала найдем точки пересечения кривых $y=x^3$ и $x=y$. Подставим $y=x$ в уравнение $y=x^3$:

$$x=x^3.$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^3-x=0.$$

Факторизуем:

$$x(x^2-1)=0.$$

Решения:

$$x=0,x^2-1=0\Rightarrow x=-1\text{и}x=1.$$

Таким образом, точки пересечения — это $(-1,-1)$, $(0,0)$ и $(1,1)$.

Возьмем для вычисления объема область, ограниченную графиками от $x=-1$ до $x=1$.

Формула для объема тела вращения вокруг оси $OX$:

$$V=\pi {\int }_a^b(f(x{)}^2-g(x{)}^2)dx,$$

где $f(x)$ — верхняя функция, а $g(x)$ — нижняя функция. В нашем случае:

Для $x$ от $-1$ до $0$: верхняя функция $f(x)=x$, нижняя функция $g(x)=x^3$.Для $x$ от $0$ до $1$: верхняя функция $f(x)=x$, нижняя функция $g(x)=x^3$.

Теперь вычислим интеграл по частям.

1) Для $x$ от $-1$ до $0$:

$$V<em>1=\pi \int </em>{-1}^0\left(x^2-(x^3{)}^2\right)dx=\pi {\int }_{-1}^0\left(x^2-x^6\right)dx.$$

2) Для $x$ от $0$ до $1$:

$$V<em>2=\pi \int </em>0^1\left(x^2-(x^3{)}^2\right)dx=\pi {\int }_0^1\left(x^2-x^6\right)dx.$$

Теперь вычислим оба интеграла.

Сначала вычислим $V_1$:

$$V<em>1=\pi \int </em>{-1}^0(x^2-x^6)dx=\pi {\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^7}{7}\right]}_{-1}^0.$$

Подставляем пределы:

$$V_1=\pi \left(\left(0\right)-\left(\frac{(-1{)}^3}{3}-\frac{(-1{)}^7}{7}\right)\right)=\pi \left(0-\left(-\frac{1}{3}+\frac{1}{7}\right)\right).$$

Считаем:

$$-\frac{1}{3}+\frac{1}{7}=-\frac{7}{21}+\frac{3}{21}=-\frac{4}{21}.$$

Таким образом:

$$V_1=\pi \left(\frac{4}{21}\right)=\frac{4\pi }{21}.$$

Теперь вычислим $V_2$:

$$V<em>2=\pi \int </em>0^1(x^2-x^6)dx=\pi {\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^7}{7}\right]}_0^1.$$

Подставляем пределы:

$$V_2=\pi \left(\left(\frac{1^3}{3}-\frac{1^7}{7}\right)-(0)\right)=\pi \left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\right).$$

Считаем:

$$\frac{1}{3}-\frac{1}{7}=\frac{7}{21}-\frac{3}{21}=\frac{4}{21}.$$

Таким образом:

$$V_2=\pi \left(\frac{4}{21}\right)=\frac{4\pi }{21}.$$

Общий объем:

$$V=V_1+V_2=\frac{4\pi }{21}+\frac{4\pi }{21}=\frac{8\pi }{21}.$$

Итак, объем тела, полученного при вращении области вокруг оси $OX$, равен:

$$\boxed{\frac{8\pi }{21}}.$$