Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными кривыми $y=\frac{1}{x}$, $y=x$, $y=4$ и вертикальной линией $x=0$, сначала надо найти точки пересечения этих линий.

Найдем точки пересечения:

Пересечение $y=\frac{1}{x}$ и $y=x$:
$$\frac{1}{x}=x⟹1=x^2⟹x=1\text{или}x=-1.$$ Так как ( x > 0 ) в данном контексте, рассматриваем только $x=1$.

Пересечение $y=\frac{1}{x}$ и $y=4$:
$$\frac{1}{x}=4⟹x=\frac{1}{4}.$$

Пересечение $y=x$ и $y=4$:
$$x=4.$$

Теперь у нас есть три важные точки:

$(1,1)$ $пересечение(y=\frac{1}{x})и(y=x)$,$\left(\frac{1}{4},4\right)$ $пересечение(y=\frac{1}{x})и(y=4)$,$(4,4)$ $пересечение(y=x)и(y=4)$.

Определим границы интегрирования:
Площадь между кривыми будет находиться в пределах от $x=\frac{1}{4}$ до $x=1$ и от $x=1$ до $x=4$.

Вычислим площадь в двух частях:

От $\frac{1}{4}$ до $1$:
В этом интервале верхняя кривая - это $y=4$, а низшая - $y=\frac{1}{x}$.
$$S<em>1=\int </em>{\frac{1}{4}}^1\left(4-\frac{1}{x}\right)dx$$

– Вычислим интеграл:
$$S<em>1=\int </em>{\frac{1}{4}}^{1}4dx-\int <em>{\frac{1}{4}}^1\frac{1}{x}dx$$ $$=4\left[x\right]</em>{\frac{1}{4}}^1-{\left[\ln |x|\right]}_{\frac{1}{4}}^1$$ $$=4(1-\frac{1}{4})-(\ln (1)-\ln (\frac{1}{4}))$$ $$=4\cdot \frac{3}{4}-(0+\ln (4))=3-\ln (4).$$

От $1$ до $4$:
В этом интервале верхняя кривая - это $y=4$, а низшая - $y=x$.
$$S<em>2=\int </em>1^4\left(4-x\right)dx$$

– Вычислим интеграл:
$$S<em>2=\left[4x-\frac{x^2}{2}\right]</em>1^4$$ $$=\left(16-8\right)-\left(4-\frac{1}{2}\right)$$ $$=8-\left(4-0.5\right)=8-3.5=\mathrm{4.5.}$$

Общая площадь:
Общая площадь $S=S_1+S_2$:
$$S=(3-\ln (4))+4.5=7.5-\ln (4).$$

Таким образом, искомая площадь фигуры равна:
$$S=7.5-\ln (4).$$