Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой $y^2=2x+1$, прямой $x-y=1$, и вертикальной прямой $x=0$, мы сначала определим точки пересечения этих линий.

Шаг 1: Найдем точки пересечения

Подставим уравнение прямой $x-y=1$ в уравнение параболы $y^2=2x+1$.

Из уравнения прямой выразим $x$:
$$x=y+1$$

Подставим это значение в уравнение параболы:
$$y^2=2(y+1)+1$$ $$y^2=2y+2+1$$ $$y^2-2y-3=0$$

Решим это квадратное уравнение:
$$(y-3)(y+1)=0$$ Таким образом, $y=3$ и $y=-1$.

Теперь подставим эти значения $y$ обратно в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения $x$:

Для $y=3$:
$$x=3+1=4$$Для $y=-1$:
$$x=-1+1=0$$

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: $(4,3)$ и $(0,-1)$.

Шаг 2: Найдем область

Теперь определим конец отрезка по оси $x$ от $x=0$ до $x=4$.

Шаг 3: Подсчитаем площадь области

Площадь ограниченная линиями можно найти с помощью интеграла.

Пользуясь горизонтальным сечением, на области от $x=0$ до $x=4$ верхняя функция $y$ — это часть параболы $y=\sqrt{2x+1}$, а нижняя функция — это линия $y=x-1$.

Таким образом, можем записать интеграл для площади:

$$P={\int }_0^4\left(\sqrt{2x+1}-(x-1)\right)dx$$

Шаг 4: Вычислим интеграл

Раскроем integrand:

$$P={\int }_0^4\left(\sqrt{2x+1}-x+1\right)dx$$

Теперь вычислим каждый компонент:

Для $\int \sqrt{2x+1}dx$ сделаем замену:
Пусть $u=2x+1$, $du=2dx$, или $dx=\frac{du}{2}$.Когда $x=0$, $u=1$; когда $x=4$, $u=9$.

Теперь интеграл станет:
12∫19u du=12⋅23u3/2∣19=13(93/2−13/2)=13(27−1)=263 \frac{1}{2} \int_{1}^{9} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_1^9 = \frac{1}{3} (9^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{1}{3} (27 - 1) = \frac{26}{3}
21 ∫19 u du=21 ⋅32 u3/2 19 =31 (93/2−13/2)=31 (27−1)=326

Для второго интеграла:
$${\int }_0^4(-x+1)dx={\left[-\frac{x^2}{2}+x\right]}_0^4=\left(-\frac{16}{2}+4\right)-0=(-8+4)=-4$$

Теперь найдем итог:
$$P=\frac{26}{3}-(-4)=\frac{26}{3}+4=\frac{26}{3}+\frac{12}{3}=\frac{38}{3}$$

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна:

$$\boxed{\frac{38}{3}}$$