Давайте обозначим первый член арифметической прогрессии как $a$, а разность прогрессии как $d$. Члены прогрессии можно выразить следующим образом:

Согласно условию задачи, сумма четвертого и седьмого членов равна 42:

$$a_4+a_7=42$$

Подставим выражения для $a_4$ и $a_7$:

$$(a+3d)+(a+6d)=42$$ $$2a+9d=42(1)$$

Также известно, что отношение четвертого и седьмого членов равно $\frac{5}{9}$:

$$\frac{a_4}{a_7}=\frac{5}{9}$$

Подставим выражения для $a_4$ и $a_7$:

$$\frac{a+3d}{a+6d}=\frac{5}{9}$$

Умножим обе стороны на $9(a+6d)$:

$$9(a+3d)=5(a+6d)$$

Раскроем скобки:

$$9a+27d=5a+30d$$

Переносим все члены с $a$ в одну сторону, а члены с $d$ в другую:

$$9a-5a=30d-27d$$ $$4a=3d(2)$$

Теперь у нас есть система уравнений $1$ и $2$:

Из уравнения $2$ выразим $d$:

$$d=\frac{4a}{3}$$

Подставим $d$ в уравнение $1$:

$$2a+9\left(\frac{4a}{3}\right)=42$$ $$2a+\frac{36a}{3}=42$$ $$2a+12a=42$$ $$14a=42\Rightarrow a=3$$

Теперь найдем $d$, подставив значение $a$ в уравнение $2$:

$$4a=3d\Rightarrow 4\cdot 3=3d$$ $$12=3d\Rightarrow d=4$$

Теперь мы можем найти сумму первых восьми членов арифметической прогрессии. Сумма первых $n$ членов прогрессии вычисляется по формуле:

$$S_n=\frac{n}{2}\cdot (2a+(n-1)d)$$

Подставим $n=8$, $a=3$, и $d=4$:

$$S_8=\frac{8}{2}\cdot (2\cdot 3+(8-1)\cdot 4)$$ $$S_8=4\cdot (6+7\cdot 4)$$ $$S_8=4\cdot (6+28)$$ $$S_8=4\cdot 34=136$$

Следовательно, сумма первых восьми членов арифметической прогрессии равна $\boxed{136}$.