Для решения задачи начнем с того, что мы имеем правильную четырехугольную пирамиду, в которой боковое ребро (означим его ( l )) равно 12 см и образует угол 60° с плоскостью основания.

1. Найдем площадь полной поверхности пирамиды:

а) площадь основания:

Пусть ( a ) — сторона основания (квадрат). Мы можем использовать треугольник, образованный боковым ребром, высотой пирамиды и половиной стороны основания.

Из условия задачи мы можем заметить, что угол 60° — это угол между боковым ребром и высотой, опущенной из вершины пирамиды в центр основания.

Для нахождения высоты ( h ) пирамиды используем соотношение:
[
h = l \cdot \cos(60°) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см.}
]

Находим сторону основания: Используем ( \sin(60°) ):
[
\frac{a/2}{l} = \sin(60°) \implies \frac{a/2}{12} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies a = 12\sqrt{3} \text{ см.}
]

Площадь основания: [
S_{основания} = a^2 = (12\sqrt{3})^2 = 432 \text{ см}^2.
]

б) Площадь боковой поверхности:

Площадь одной боковой грани (треугольника) равна:
[
S{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h{боковой},
]
где ( h{боковой} ) — высота бокового треугольника (можно найти через теорему Пифагора):
[
h{боковой}^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = l^2.
]
Сначала найдем ( \frac{a}{2} ):
[
\frac{a}{2} = \frac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \text{ см.}
]
Теперь найдем ( h{боковой} ):
[
h{боковой}^2 + (6\sqrt{3})^2 = 12^2 \implies h{боковой}^2 + 108 = 144 \implies h{боковой}^2 = 36 \implies h_{боковой} = 6 \text{ см.}
]

Площадь одной боковой грани:
[
S{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{3} \cdot 6 = 36\sqrt{3} \text{ см}^2.
]
Площадь 4 боковых граней:
[
S{боковая} = 4 \cdot 36\sqrt{3} = 144\sqrt{3} \text{ см}^2.
]

Полная площадь поверхности: [
S{полная} = S{основания} + S_{боковая} = 432 + 144\sqrt{3} \text{ см}^2.
]

2. Найдем объем пирамиды:

Объем правильной пирамиды можно найти по формуле:
[
V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot 432 \cdot 6 = 864 \text{ см}^3.
]

Ответ:

а) Площадь полной поверхности: ( 432 + 144\sqrt{3} ) см².
б) Объем пирамиды: ( 864 ) см³.