Для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника, где известен один катет и его проекция на гипотенузу, можно использовать геометрические свойства.

Пусть ( a ) — длина катета (в данном случае 30 см), ( p ) — проекция катета на гипотенузу (в данном случае 18 см), а ( c ) — длина гипотенузы. Используя свойство проекции, можно записать следующую формулу:

[
p = a \cdot \cos(\theta)
]

где ( \theta ) — угол между катетом и гипотенузой. Отсюда можно выразить ( \cos(\theta) ):

[
\cos(\theta) = \frac{p}{a} = \frac{18}{30} = 0.6
]

Теперь можно использовать теорему Пифагора, которая гласит:

[
c^2 = a^2 + b^2
]

где ( b ) — другой катет. Мы знаем ( a ) и ( p ), но ( b ) можно найти через ( a ) и ( \sin(\theta) ):

[
\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} = \sqrt{1 - (0.6)^2} = \sqrt{1 - 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8
]

Теперь проекция на другой катет может быть найдена по формуле:

[
b \cdot \cos(90^\circ - \theta) = a \cdot \sin(\theta)
]
Так как ( \cos(90^\circ - \theta) = \sin(\theta) ):

Значит ( b = a \cdot \tan(\theta) = \frac{p}{\cos(\theta)} = \frac{18}{0.6} = 30 ).

Теперь, когда мы знаем ( a ) и можем выразить ( b ) через проекцию, используем теорему Пифагора:

[
c = \sqrt{a^2 + b^2}
]

где

[
b^2 = \left(\frac{30 \cdot 0.8}{0.6}\right)^2 = \left(40\right)^2 = 1600
]

Теперь подставим в теорему Пифагора.

[
c^2 = 30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500
]
[
c = \sqrt{2500} = 50 \text{ см}
]

Таким образом, длина гипотенузы равна 50 см.