Для поиска золотых пар дождливых чисел, начнем с определения натурального числа ( n ) как дождливого, если существует простое число ( p ), такое что ( n = p + 2 ). Таким образом, дождливые числа имеют вид:

[
n = p + 2,
]

где ( p ) — простое число.

Теперь обозначим две дождливых числа как ( a ) и ( b ):

[
a = p_1 + 2,
]
[
b = p_2 + 2,
]

где ( p_1 ) и ( p_2 ) — простые числа.

Для того чтобы пара ( (a, b) ) была золотой парой, требуется, чтобы и сумма, и разность этих чисел также были дождливыми.

Сумма:

[
a + b = (p_1 + 2) + (p_2 + 2) = p_1 + p_2 + 4.
]

Эта сумма будет дождливым числом, если существует простое число ( p_3 ), такое что:

[
p_1 + p_2 + 4 = p_3 + 2 \implies p_1 + p_2 + 2 = p_3.
]

Это означает, что ( p_1 + p_2 ) должно быть простым числом.

Разность:

[
a - b = (p_1 + 2) - (p_2 + 2) = p_1 - p_2.
]

Будем считать, что ( p_1 \geq p_2 ). Тогда разность будет дождливым числом, если существует простое число ( p_4 ), такое что:

[
p_1 - p_2 = p_4 + 2 \implies p_1 - p_2 - 2 = p_4.
]

Это означает, что ( p_1 - p_2 - 2 ) должно быть простым числом.

Теперь, подытожим требования для пары ( (p_1, p_2) ):

( p_1 + p_2 ) должно быть простым;( p_1 - p_2 - 2 ) должно быть простым (при ( p_1 \geq p_2 )).

Теперь рассмотрим возможные простые числа, чтобы найти все такие пары.

Исследуя небольшие простые числа:

( p_1 = 3, p_2 = 3 ):

( (a, b) = (5, 5) )( 5 + 5 = 10 ) (не простое)( 5 - 5 = 0 ) (не дождливое)

( p_1 = 3, p_2 = 5 ):

( (a, b) = (5, 7) )( 5 + 7 = 12 ) (не простое)( 7 - 5 = 2 ) (все равно дождливое)

( p_1 = 5, p_2 = 5 ):

( (a, b) = (7, 7) )( 7 + 7 = 14 ) (не простое)( 7 - 7 = 0 ) (не дождливое)

( p_1 = 5, p_2 = 3 ):

( (a, b) = (7, 5) )Сложение и вычитание аналогично предыдущему.

Простые числа: 2, 3, 5, 7 и 11.

Допустимые пары в числах:

Для ( p_1 = 3, p_2 = 3 ):

( (5, 5) ): не золотая.

Для ( p_1 = 3, p_2 = 5/7/11 ):

Смешение не дает золотых пар.

Так мы видим, что тяжело найти такие пары.

Наиболее однозначные пары будут только из ( p_1 ) и ( p_2) это 5. По ним видим, что получать новые пары не удастся.

Заключение

В выводе, при продолжении рассматриваемых простых чисел:

Золотая пара чисел:

( (5, 5) ) и несовершенное, по сохранению всех норм.То есть, ( (5, 7) ), где не удастся.Следовательно: нет других натуральных золотых пар чисел, ведущих к парам дождливым с условиями. Мы завершили анализ!