Для построения графика функции ( y = 3\sin(x) ) в диапазоне от ( 0 ) до ( 2\pi ), а также для нанесения точек касательных, выполним следующие шаги.

Построение графика функции:
График функции ( y = 3\sin(x) ) имеет амплитуду 3 и одинаковое значение 0 в точках ( x = 0 ), ( x = \pi ), и ( x = 2\pi ). Максимальное значение функции достигается при ( x = \frac{\pi}{2} ) и равно 3, минимальное значение достигается при ( x = \frac{3\pi}{2} ) и равно -3.

Нанесение горизонтальной линии:
На уровне ( y = 3 ) мы можем провести горизонтальную линию, которая будет пересекать график функции в максимальной точке.

Нанесение касательной линии:
Функция ( y = -3x + 3\pi ) касается графика в точке ( (π, 0) ). Мы знаем, что производная функции ( y = 3\sin(x) ) в точке ( x = π ) равна ( 0 ). Находим координаты точки касания:
[
y = 3\sin(\pi) = 0
]
Касательная имеет уравнение ( y - 0 = 0(x - \pi) ) в точке касания. Но также нам нужно использовать данное уравнение ( y = -3x + 3\pi ). Проверим его значение в этой точке:
[
y = -3\pi + 3\pi = 0
]
Это подтверждает, что прямая действительно касается графика функции в данной точке.

Теперь перейдем к построению:

Угловая линия ( y = -3x + 3\pi ) будет наклонной и будет пересекаться ось ( y ) в ( 3\pi ) и иметь отрицательный наклон.

Ниже представлено описание графика:

На графике ( y = 3\sin(x) ) отмечены:
Высшая точка в ( (\frac{\pi}{2}, 3) )Низшая точка в ( (\frac{3\pi}{2}, -3) )Горизонтальная линия на уровне ( y = 3 ).Прямая касательной ( y = -3x + 3\pi ), которая касается графика функции в точке ( (\pi, 0) ).

Вы можете использовать программу для построения графиков, такие как Desmos или Matplotlib на Python, для визуализации вышеописанного. Если вам нужен код на Python для построения графика, просто дайте знать!