Чтобы найти первообразную функции ( f(x) = -3 \cdot x^{1/2} ), воспользуемся методом интегрирования.

Общая форма определения первообразной для функции ( x^n ) такова:

[
\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad (n \neq -1)
]

В нашем случае ( f(x) = -3 \cdot x^{1/2} ), где ( n = \frac{1}{2} ). Поэтому, мы сначала выделим коэффициент ( -3 ) и затем найдем первообразную ( x^{1/2} ):

[
\int f(x) \, dx = -3 \int x^{1/2} \, dx
]

Теперь найдем первообразную ( x^{1/2} ):

[
\int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{1/2 + 1}}{1/2 + 1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3} x^{3/2} + C
]

Возвращаемся к нашей функции:

[
\int f(x) \, dx = -3 \cdot \frac{2}{3} x^{3/2} + C = -2 x^{3/2} + C
]

Таким образом, первообразная функции ( f(x) = -3 \cdot x^{1/2} ) равна:

[
\int f(x) \, dx = -2 x^{3/2} + C
]

где ( C ) — произвольная константа интегрирования.