Символы Кристоффеля используются в дифференциальной геометрии для описания связности в многообразиях. В ортонормированном репере, который представляет собой нормированные ортогональные векторы, символы Кристоффеля можно находить следующим образом.

Определение метрики: Сначала необходимо определить метрику ( g{ij} ). Для ортонормированного репера метрикой может быть единичная матрица ( \delta{ij} ), так как векторы ортонормированы и взаимно ортогональны.

Формула для символов Кристоффеля: Символы Кристоффеля второго рода определяются через метрику следующим образом:
[
\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2} g^{kl} \left( \partiali g{jl} + \partialj g{il} - \partiall g{ij} \right)
]
где ( g^{kl} ) – обратная метрика.

Вычисление производных метрики: Поскольку мы работаем с ортонормированным репером, метрика не зависит от координат (в случае, если репер фиксированный). Поэтому производные компоненты метрики ( \partiali g{jl} ) будут равны нулю.

Результат: При нулевых производных, выражение для символов Кристоффеля сокращается до:
[
\Gamma^k_{ij} = 0
]
Это означает, что в ортонормированном репере символы Кристоффеля равны нулю, так как у нас есть постоянная метрика.

Следовательно, в ортонормированном репере, если он фиксирован и метрика не зависит от координат, все символы Кристоффеля будут равны нулю.