Чтобы исследовать функцию ( f(x) = -x^3 + 3x - 2 ), нужно выполнить следующие шаги:

Нахождение производной и критических точек: [
f'(x) = -3x^2 + 3
]
Приравняем производную к нулю для нахождения критических точек:
[
-3x^2 + 3 = 0 \implies 3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1
]

Определение знака производной:

Для ( x < -1 ): ( f'(x) > 0 ) (функция возрастает)Для ( -1 < x < 1 ): ( f'(x) < 0 ) (функция убывает)Для ( x > 1 ): ( f'(x) > 0 ) (функция возрастает)

Нахождение значений функции в критических точках:

( f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 )( f(1) = -(1)^3 + 3(1) - 2 = -1 + 3 - 2 = 0 )

Определение типа критических точек:

При ( x = -1 ) - точка минимума, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.При ( x = 1 ) - точка максимума, так как производная меняет знак с отрицательного на положительный.

Найдем значения функции на границах:

При ( x \to -\infty, f(x) \to +\infty )При ( x \to +\infty, f(x) \to -\infty )

Построение графика: Учитывая, что:

Минимум в точке ( (-1, -4) )Максимум в точке ( (1, 0) )На краях график стремится к ( +\infty ) при ( x \to -\infty ) и к ( -\infty ) при ( x \to +\infty )

На основании вышеизложенного, график функции будет снижаться от ( +\infty ) до минимума в точке ( (-1, -4) ), затем возрастать до максимума в точке ( (1, 0) ), и снова снижаться к ( -\infty ).

График данной функции можно изобразить на координатной плоскости (вы можете воспользоваться графическим калькулятором или специальными программами для построения графиков).