В этой игре Петя и Вася начинают с 111 камешков. Им нужно брать от 1 до 9 камешков за ход, и цель - взять последний камешек.

Для решения задачи, давайте проанализируем, какие позиции являются выигрышными, а какие - проигрышными для игроков.

Позиция (число камешков), в которой один из игроков не может выиграть при правильной игре противника, называется проигрышной.Если после хода одного из игроков остается проигрышная позиция для противника, то текущая позиция для текущего игрока выигрышная.

Проигрышные позиции:

0 камешков (проигрышная, так как игрок не может сделать ход).10 камешков (последующий игрок всегда сможет вернуться в эту позицию, забрав между 1 и 9 камешков).

Теперь будем рассматривать позиции, которые можно выявить с помощью проигрышной позиции:

1 - 9 камней - каждый из них выигрышный, так как игрок может забрать все камешки и выиграть.11 камней (проигрышная, так как игрок заберет от 1 до 9, оставив противнику выигрышную позицию).12 - 20 камней - все выигрышные.21 камней - проигрышная (аналогично).

Таким образом, мы можем заметить, что проигрышные позиции формируются каждые 10 позиций начиная с 0:
0, 10, 20, 30, ..., 100.

Следовательно, выигрывающие позиции - это все остальные числа. В данном случае 111 - это выигрышная позиция.

Чтобы гарантировать себе победу, Петя должен начинать с позиции, которая делает Васю владельцем проигрышной позиции. Таким образом, Петя должен сделать свой первый ход так, чтобы после него оставалось 110 камешков, что является проигрышной позицией для Васи.

Следовательно, Петя должен взять 1 камешек из 111 камешков, оставляя в кучке 110 камней. После этого, при правильной игре, он всегда сможет поддерживать ситуацию так, чтобы оставить Васю в проигрышных позициях.

Ответ: Петя выиграет, если возьмет 1 камешек на первом ходе.