Для решения задачи обозначим девять последовательных целых чисел как ( n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, n+6, n+7, n+8 ), где ( n ) — целое число. Мы хотим рассмотреть сумму попарных произведений этих чисел.

Сумма всех попарных произведений этих чисел равна

[
S = \sum_{1 \leq i < j \leq 9} x_i x_j,
]

где ( x_i ) обозначает ( n + i - 1 ) для ( i = 1, 2, \ldots, 9 ). Можно использовать формулу для суммы попарных произведений, которая равна

[
S = \frac{1}{2} \left( \left( \sum_{i=1}^{9} xi \right)^2 - \sum{i=1}^{9} x_i^2 \right).
]

Сначала найдем ( \sum_{i=1}^{9} xi ) и ( \sum{i=1}^{9} x_i^2 ).

Вычислим ( \sum_{i=1}^{9} x_i ):

[
\sum_{i=1}^{9} x_i = n + (n+1) + (n+2) + \cdots + (n+8) = 9n + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8) = 9n + 36.
]

Теперь найдем ( \sum_{i=1}^{9} x_i^2 ):

[
\sum_{i=1}^{9} x_i^2 = (n)^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 + \cdots + (n+8)^2.
]

Упростим эту сумму:

[
\sum_{i=1}^{9} xi^2 = \sum{k=0}^{8} (n+k)^2 = \sum{k=0}^{8} (n^2 + 2nk + k^2) = 9n^2 + 2n \sum{k=0}^{8} k + \sum_{k=0}^{8} k^2.
]

Сумма первых ( m ) натуральных чисел и квадратов первых ( m ) чисел:

[
\sum{k=0}^{8} k = \frac{8 \cdot 9}{2} = 36,
]
[
\sum{k=0}^{8} k^2 = \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = 204.
]

Таким образом,

[
\sum_{i=1}^{9} x_i^2 = 9n^2 + 72n + 204.
]

Теперь подставим найденные суммы в формулу для ( S ):

[
S = \frac{1}{2} \left( (9n + 36)^2 - (9n^2 + 72n + 204) \right).
]

Вычислим ( (9n + 36)^2 ):

[
(9n + 36)^2 = 81n^2 + 648n + 1296.
]

Теперь подставим это в выражение для ( S ):

[
S = \frac{1}{2} \left( 81n^2 + 648n + 1296 - 9n^2 - 72n - 204 \right) = \frac{1}{2} (72n^2 + 576n + 1092).
]

Упростим это:

[
S = 36n^2 + 288n + 546.
]

Теперь исследуем, когда это выражение может быть точной степенью целого числа, то есть ( k^m ) с ( m \geq 2 ).

Обозначим ( S = 36n^2 + 288n + 546 ).

При любом ( n ) это выражение принимает значения, которые в общем случае являются достаточно сложными для того, чтобы ( S ) было ровно равным какой-то ( k^m ).

Далее заметим, что ( S ) всегда четное число, так как все его слагаемые — четные. Однако, при ( n ) = 0, значение становится ( S = 546 ), которое не является квадратом, а при больших ( n ), выражение будет расти и его побочные величины не позволяют ( S ) принимать значения, которые бы могли быть степенью числа выше первой. Это связано с тем, что квадраты и вообще более высокие степени чисел имеют специфически ограниченные остатки при делении на фиксированные числа.

Используя теорию чисел, можно показать, что ( (36n^2 + 288n + 546) ) не может быть совершенной степенью, так как остатки при гипотетическом делении на более высокие квадраты ведут к противоречиям в разлагаемости на множители.

Таким образом, мы приходим к выводу, что сумма попарных произведений девяти последовательных целых чисел не может быть точной степенью целого числа, если эта степень выше первой.