Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Пусть десятизначное число будет записано в виде:

$$N=a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5{a}_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5$$

где $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ — это цифры числа. Являясь десятизначным, то есть состоящим из 10 позиций, число имеет структуру, при которой первые пять цифр совпадают с последними пятью.

Теперь мы хотим доказать, что это число делится на 11.

Проверка делимости на 11

Число делится на 11, если разность суммы его цифр, стоящих на четных позициях, и суммы цифр, стоящих на нечетных позициях, делится на 11.

В нашем случае:

Нечетные позиции: $a_1,a_3,a_5,a_1,a_3$ $позиции1,3,5,7,9$Четные позиции: $a_2,a_4,a_5,a_2,a_4$ $позиции2,4,6,8,10$

Теперь посчитаем суммы:

Сумма на нечетных позициях:
$$S_{нечет}=a_1+a_3+a_5+a_1+a_3=2a_1+2a_3+a_5$$

Сумма на четных позициях:
$$S_{чет}=a_2+a_4+a_5+a_2+a_4=2a_2+2a_4+a_5$$

Теперь вычислим разность:
$$R=S<em>нечет-S</em>чет=(2a_1+2a_3+a_5)-(2a_2+2a_4+a_5)=2a_1+2a_3-2a_2-2a_4$$

И фактически, можем упростить:

$$R=2(a_1+a_3-a_2-a_4)$$

Так как $R$ умножается на 2, оно делится на 2. Если $a_1+a_3-a_2-a_4$ делится на 11, тогда число $N$ делится и на 11.

Таким образом, число $N$ делится на 11.

На какие еще числа делится $N$?

Кроме 11, число $N$ можно проверить на делимость на 9 и 3.

Делимость на 3: Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма всех цифр числа $N$ равна $2(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)$. Если $(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)$ делится на 3, то и $N$ делится на 3.

Делимость на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Это аналогично делимости на 3, так что если $(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5)$ делится на 9, то $N$ также делится на 9.

Таким образом, число $N$ делится на 11, а также может делиться на 3 и 9 в зависимости от суммы его цифр.