Чтобы найти синус двугранного угла при основании правильной четырехугольной пирамиды, нам нужно использовать данные значения: апофема $h=8$ и радиус описанной окружности основания $R=3$.

Найдем высоту пирамиды. Высоту правильной четырехугольной пирамиды можно найти через апофему и радиус описанной окружности. В правильной пирамиде, высота $H$, апофема $h$ и радиус описанной окружности $R$ связаны следующим образом:

$$\cos (\alpha )=\frac{H}{h}$$

где $\alpha$ - угол между высотой и апофемой. Однако, чтобы найти синус двугранного угла при основании, мы используем немного другой подход:

Найдем линеарные размеры. Для правильной четырехугольной пирамиды, основание является квадратом. Сначала найдем сторону квадратного основания $a$:

Радиус описанной окружности квадрата $R$ связан со стороной квадрата следующим уравнением:
$$R=\frac{a}{\sqrt{2}}\Rightarrow a=R\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$$

Найдем высоту $H$:
Для нахождения синуса двугранного угла, нам нужно найти высоту $H$ по следующей формуле:

Высота $H$ пирамиды и апофема $h$ также связаны через радиус $R$:
$$\tan (\beta )=\frac{H}{\frac{a}{2}}$$ где $\beta$ - угол между высотой и ребром пирамиды, которое соединяет вершину с серединой ребра основания.

Из предыдущего шага:
$$\frac{a}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$$

Используем теорему Пифагора для нахождения $H$:
Применяем теорему Пифагора к треугольнику, образованному высотой, апофемой и половиной стороны основания:
$$h^2=H^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$$

Подставляем значения:
$$8^2=H^2+{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2$$ $$64=H^2+\frac{9\cdot 2}{4}=H^2+4.5$$ $$H^2=64-4.5=59.5\Rightarrow H=\sqrt{59.5}$$

Теперь найдем синус угла при основании:
Синус двугранного угла $\sin \varphi$ можно выразить через радиус и высоту:
$$\sin \varphi =\frac{R}{h}$$ Подставляем известные значения:
$$\sin \varphi =\frac{3}{8}$$

Таким образом, синус двугранного угла при основании пирамиды равен $\frac{3}{8}$.