Да, такой парк может существовать, и ответ на вопрос зависит от структуры дорожек и вершин, представляющих парк в виде графа.

В теории графов такая задача часто рассматривается в контексте эйлеровых цепей и эйлеровых маршрутов. Чтобы понять, может ли существовать парк, который отвечает вам заданным условиям (прошел по всем дорожкам парка, пройдя по каждой ровно два раза, но не может быть обойден, пройдя по каждой дорожке ровно один раз), следует рассмотреть следующие условия:

Эйлеров маршрут: Для того чтобы в графе существовал эйлеров маршрут (где каждое ребро можно пройти ровно один раз), необходимо, чтобы все вершины имели четную степень (количество соединений).

Эйлеров цикл: Если хотя бы одна вершина имеет нечетную степень, то эйлерова цепь не существует, и граф нельзя обойти, пройдя по каждому ребру ровно один раз.

В вашем случае садовник говорит, что нельзя обойти дорожки, пройдя по каждой ровно один раз, что означает, что в пространстве парка (графе) должны быть по крайней мере одна или несколько вершин с нечетной степенью.

Однако турист прошел по каждой дорожке ровно два раза. Это возможно, когда каждая дорожка (ребро) графа является соединением между вершинами (объектами парка). Условие, что каждая дорожка прошла дважды, не отменяет того, что в графе могут быть вершины с нечетной степенью.

Таким образом, да, парк с такими условиями вполне может существовать: например, можно представить граф, в котором некоторый набор вершин имеет нечетную степень, что делает невозможным пройти по каждой дорожке ровно один раз, но при этом вы можете пройти по всем дорожкам дважды.