Чтобы доказать, что натуральное четное число ( p ), удовлетворяющее данному условию, может быть только степенью двойки, рассмотрим следующее:

Пусть ( p ) — четное натуральное число, которое делится на простое число ( r ). По условию, если ( p ) делится на ( r ), то ( p - 1 ) делится на ( r - 1 ).

Четное число ( p ) может быть представлено как ( p = 2^k \cdot m ), где ( m ) — нечетное число и ( k \geq 1 ).

Рассмотрим два случая для простого числа ( r ):

Если ( r = 2 ):

Тогда ( p ) делится на ( r ) (так как ( p ) четное).В этом случае ( p - 1 ) будет нечетным (так как четное - 1 = нечетное).Простое число ( r - 1 ) будет равно 1, и любое число делится на 1, так что условие выполняется.

Если ( r ) — нечетное простое число (например, 3, 5, 7 и т.д.):

Раз ( p ) делится на нечетное простое ( r ), ( p = r \cdot k) для некоторого ( k ).Рассмотрим ( p - 1 = rk - 1 ). Мы знаем, что ( rk - 1 = r(k - 1) + (r - 1) ).Если ( r ) больше 2 (т.е. нечетное), то ( r - 1 ) — четное простое число, а значит, ( p - 1 ) делится на ( r - 1 ) будет означать, что ( p - 1 ) тоже должно быть четным, что невозможно.

Теперь мы можем подытожить:

Если ( p ) делится на нечетное простое ( r ) (где ( r > 2 )), то это приводит к противоречию. И только для ( r = 2 ) мы можем сохранить согласованность.

Таким образом, можно сделать вывод:

Если четное число ( p ) делится на простое число ( r ), то ( p ) должно быть равно ( 2^k ) для какого-либо ( k \geq 1 ).

Итак, мы доказали, что натуральное четное число ( p ) может быть только степенью двойки.