Теория бесконечных десятичных дробей Последовательность b(n) задаётся через последовательность 0 ≤ a(n) ≤ 9
следующим образом:
b(0) = a(0)^2, b(1) = [a(0) + a(1) / 10]^2, b(2) = [a(0) + a(1) / 10 + a(2) / 10^2]^2,
b(n) = [a(0) + a(1) / 10 + a(2) / 10^2 + ... + a(n) / 10^n]^2, где 0 ≤ a(n) ≤ 9.
Мы говорим, что a(0),a(1)a(2)a(3)...^2 = k, если limb(n) = k.
Как нам доказать, что если мы будем брать члены последовательности a(n),
выбирая на n-ом шаге наибольшее 0 ≤ a(n) ≤ 9, такое что
b(n) = [a(0) + a(1) / 10 + a(2) / 10^2 + ... + a(n) / 10^n] ^2 ≤ k, то
последовательность b(n) будет удовлетворять limb(n) = k?
Как доказать, что беря члены последовательности a(n) таким образом, мы
будем приходить к тому, что limb(n) = k, независимо от заданного k ≥ 0?
Теория бесконечных десятичных дробей Последовательность b(n) задаётся через последовательность 0 ≤ a(n) ≤ 9
следующим образом:
b(0) = a(0)^2, b(1) = [a(0) + a(1) / 10]^2, b(2) = [a(0) + a(1) / 10 + a(2) / 10^2]^2,
b(n) = [a(0) + a(1) / 10 + a(2) / 10^2 + ... + a(n) / 10^n]^2, где 0 ≤ a(n) ≤ 9.
Мы говорим, что a(0),a(1)a(2)a(3)...^2 = k, если limb(n) = k.
Как нам доказать, что если мы будем брать члены последовательности a(n),
выбирая на n-ом шаге наибольшее 0 ≤ a(n) ≤ 9, такое что
b(n) = [a(0) + a(1) / 10 + a(2) / 10^2 + ... + a(n) / 10^n] ^2 ≤ k, то
последовательность b(n) будет удовлетворять limb(n) = k?
Как доказать, что беря члены последовательности a(n) таким образом, мы
будем приходить к тому, что limb(n) = k, независимо от заданного k ≥ 0?
следующим образом:
b(0) = a(0)^2, b(1) = [a(0) + a(1) / 10]^2, b(2) = [a(0) + a(1) / 10 + a(2) / 10^2]^2,
b(n) = [a(0) + a(1) / 10 + a(2) / 10^2 + ... + a(n) / 10^n]^2, где 0 ≤ a(n) ≤ 9.
Мы говорим, что a(0),a(1)a(2)a(3)...^2 = k, если limb(n) = k.
Как нам доказать, что если мы будем брать члены последовательности a(n),
выбирая на n-ом шаге наибольшее 0 ≤ a(n) ≤ 9, такое что
b(n) = [a(0) + a(1) / 10 + a(2) / 10^2 + ... + a(n) / 10^n] ^2 ≤ k, то
последовательность b(n) будет удовлетворять limb(n) = k?
Как доказать, что беря члены последовательности a(n) таким образом, мы
будем приходить к тому, что limb(n) = k, независимо от заданного k ≥ 0?
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Чтобы доказать, что если мы будем брать члены последовательности ( a(n) ) таким образом, то последовательность ( b(n) ) будет удовлетворять условию ( \lim_{n \to \infty} b(n) = k ), нам нужно рассмотреть, как последовательно значения ( b(n) ) приближаются к ( k ) при заданном условии.
Определение последовательностей: Напомним, что ( b(n) = [S_n]^2 ), где ( S_n = a(0) + \frac{a(1)}{10} + \frac{a(2)}{10^2} + ... + \frac{a(n)}{10^n} ). Таким образом, ( b(n) ) является квадратом суммы дробей, каждая из которых становится всё более незначительной при увеличении ( n ).
Выбор значений: На каждом шаге ( n ) мы берем максимальное значение ( a(n) ) в диапазоне от 0 до 9, такое что ( b(n) \leq k ). Это гарантирует, что ( S_n ) будет максимально возможным для того, чтобы оставаться под ограничением ( \sqrt{k} ).
Ограничение суммы: Поскольку мы выбираем максимальные значения ( a(n) ), ( S_n ) будет стремиться к некоторой границе, которая будет равняться ( \sqrt{k} ) как максимум, которого мы можем достичь. Таким образом, когда ( n ) стремится к бесконечности, ( S_n ) будет стремиться к ( \sqrt{k} ).
Сходимость: Мы знаем, что ( S_n ) – это частичная сумма числового ряда, состоящего из положительных дробей. По свойству частичных сумм, если мы ограничиваем ( b(n) ) таким образом, что оно всегда остается меньшим или равным ( k ), то при увеличении ( n ) ( S_n ) будет приближаться к ( \sqrt{k} ).
Квадрат и предел: Поскольку предел ( S_n ) будет стремиться к ( \sqrt{k} ), последовательность ( b(n) = [S_n]^2 ) будет стремиться к ( (\sqrt{k})^2 = k ).
Таким образом, выбор максимальных значений ( a(n) ) позволяет нам гарантировать, что ( b(n) ) будет достигать предела ( k ) в процессе последовательного выбора, обеспечивая тем самым, что ( \lim_{n \to \infty} b(n) = k ).
В результате, мы приходим к выводу, что при любом ( k \geq 0 ), выбирая ( a(n) ) должным образом, мы можем достичь условия ( \lim_{n \to \infty} b(n) = k ).