Обозначим набор чисел как ( x_1, x2, \ldots, x{35} ). Нам известно, что их среднее арифметическое равно 3, то есть

[
\frac{x_1 + x2 + \ldots + x{35}}{35} = 3.
]

Отсюда следует, что

[
x_1 + x2 + \ldots + x{35} = 3 \cdot 35 = 105.
]

Также известно, что медиана равна 1. Поскольку у нас есть 35 чисел, медиана будет находиться между 17-м и 18-м числами в отсортированном порядке. Следовательно,

[
x{17} \leq 1 \quad \text{и} \quad x{18} \geq 1.
]

Для максимизации суммы квадратов ( S = x_1^2 + x2^2 + \ldots + x{35}^2 ) мы будем стараться сделать как можно больше чисел равными 0, а остальные числа — как можно большими, сохраняя при этом заданные условия.

Пусть ( k ) — количество чисел, равных 1. Следовательно, сумма всех чисел, которые будут равны 1, будет равна ( k \cdot 1 = k ), и оставшиеся ( 35 - k ) чисел будут равны 0. У нас есть другое ограничение:

[
k = 105,
]

так как всего сумма чисел равна 105. Это означает, что максимальное значение ( k ) должно быть 35, а 106 чисел не могут быть одновременно. Переписываем условие о 1:

Пусть, например, 17 первых чисел равны 1, следующим образом: ( 17 \times 1 + x{18} + \ldots + x{35} = 105 ):
[
17 + x{18} + \ldots + x{35} = 105.
]
Следовательно,
[
x{18} + \ldots + x{35} = 105 - 17 = 88.
]

Теперь у нас ( 18 ) чисел равны 0 и ( 17 ) чисел равны 1, тогда оставшиеся 17 чисел равны 0.

Чтобы максимизировать сумму квадратов, мы можем сделать одно из чисел как можно большим при условии, что их сумма должна равняться 88. Таким образом, берем одно число равное 88:

[
x_1 = 1, \quad x_2 = 1, \quad x3 = 1, \ldots, \quad x{17} = 1, \
x{18} = 88, \quad x{19} = 0, \quad x{20} = 0, \quad \ldots, \quad x{35} = 0.
]

Сумма квадратов будет:

[
S = 17\cdot 1^2 + 88^2 + 17\cdot 0^2 = 17 + 7744 + 0 = 7761.
]

Таким образом, наибольшее возможное значение суммы квадратов этих чисел равно

[
\boxed{7761}.
]