Для нахождения разности арифметической прогрессии (d) используем формулу суммы первых (n) членов арифметической прогрессии:

[
S_n = \frac{n}{2} \cdot (2a_1 + (n - 1) d)
]

В данном случае известны:

(S_7 = 210) (сумма первых 7 членов)(a_1 = 2) (первый член прогрессии)(n = 7)

Подставляем известные значения в формулу:

[
210 = \frac{7}{2} \cdot (2 \cdot 2 + (7 - 1) d)
]

Упростим уравнение:

Найдем (2 \cdot a_1):

[
2 \cdot 2 = 4
]

Запишем уравнение:

[
210 = \frac{7}{2} \cdot (4 + 6d)
]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

[
420 = 7 \cdot (4 + 6d)
]

Разделим обе стороны на 7:

[
60 = 4 + 6d
]

Выразим (6d):

[
6d = 60 - 4
]

[
6d = 56
]

Найдем (d):

[
d = \frac{56}{6} = \frac{28}{3} \approx 9.33
]

Таким образом, разность арифметической прогрессии (d = \frac{28}{3}).