Чтобы найти формулу n-го члена последовательности, опираясь на первые четыре члена, можно попробовать определить закономерности.

Даны члены последовательности:

( a_1 = 2 )( a_2 = \frac{5}{\sqrt{2}} )( a_3 = \frac{10}{\sqrt{3}} )( a_4 = \frac{17}{2} )

Давайте посмотрим, как изменяются числители и знаменатели:

Числители:

1-й: 22-й: 53-й: 104-й: 17

Попробуем определить последовательность чисел 2, 5, 10, 17. Посмотрим на разности между ними:

( 5 - 2 = 3 )( 10 - 5 = 5 )( 17 - 10 = 7 )

Разности составляют последовательность 3, 5, 7. Это разности возрастают на 2. Надеемся, что можем описать её как:

( b_n = n^2 + n ) (можно заметить, что 3, 5, 7 - это формула для квадратов)

Подсчитаем:

( b_1 = 1^2 + 1 = 2 )( b_2 = 2^2 + 2 = 6 ) – это не соответствует, вернемся и подумаем.

На самом деле, 3, 5 и 7 – это 2н + 1 формула вне зависимости от n.

Таким образом:

( a_n = b_n(x_n) ) где ( b_n = n^2 + n ) или аналогичные

Теперь давайте выделим общую закономерность для знаменателей:

знаменатели: √(n-1) из √0, √1, √2.

Тогда можно попробовать, формулу представим в виде:
[ a_n = \frac{n^2 + n}{\sqrt{n-1}} ]

Проверим:

для ( n = 1 ): ( \frac{1^2 + 1}{\sqrt{0}} = 2 ) для ( n = 2 ): ( \frac{2^2 + 2}{\sqrt{1}} = 5 )для ( n = 3 ): ( \frac{3^2 + 3}{\sqrt{2}} = 10 )для ( n = 4 ): ( \frac{4^2 + 4}{\sqrt{3}} = 17 )

Итак, одна из возможных формул n-го члена последовательности будет:
[
a_n = \frac{n^2 + n}{\sqrt{n-1}}
]