Для решения уравнения ( 20^a + 25^b = 2025^c ) сначала упростим правую часть.

Запишем ( 2025 ) в виде степени простых чисел:
[
2025 = 45^2 = (5 \cdot 9)^2 = (5 \cdot 3^2)^2 = 5^2 \cdot 3^4.
]
Таким образом,
[
2025 = 5^2 \cdot 3^4.
]

Теперь выразим ( 2025^c ):
[
2025^c = (5^2 \cdot 3^4)^c = 5^{2c} \cdot 3^{4c}.
]

Теперь разложим ( 20^a ) и ( 25^b ):
[
20^a = (4 \cdot 5)^a = 4^a \cdot 5^a,
]
[
25^b = (5^2)^b = 5^{2b}.
]

Теперь заменим в уравнении ( 20^a + 25^b ):
[
20^a + 25^b = 4^a \cdot 5^a + 5^{2b}.
]

Сравнивая обе стороны уравнения, получим:
[
4^a \cdot 5^a + 5^{2b} = 5^{2c} \cdot 3^{4c}.
]

Сравним степени 5:
[
a + 2b = 2c.
]
Теперь посмотрим на другие факторы:
[
4^a \cdot 5^a + 5^{2b} = 5^{2c} \cdot 3^{4c}.
]

С другой стороны, обращаем внимание, что ( 4^a ) является четной функцией, а ( 5^{2b} ) — нечетной, что предполагает, что ( 20^a + 25^b ) может не быть четным, если ( a ) и ( b ) не подходят. Также заметим, что добавление термина ( 4^a ) может вызывать несоответствия в разбиении на степени 3.

Чтобы продолжать, можно попробовать подставить небольшие значения для ( a ) и ( b ) и посмотреть, удовлетворяют ли они условиям (равенство по степеням 3 и 5). Таким образом, проверяя, например:

Если ( a=0 ) и ( b=0 ), то ( 1 + 1 = 2 ) (не равен).Если ( a=1 ) и ( b=0 ), то ( 20 + 1 = 21 ) (не равен).Если ( a=0 ) и ( b=1 ), то ( 1 + 25 = 26 ) (не равен).

Пробуя разные комбинаторные наборы, замечаем, что все равно не будет равенства.

Можно сделать вывод, что при любых положительных (или нулевых) натуральных ( a ), ( b ), и ( c ) уравнение не удовлетворяется, а значит, натуральные числа таких ( a, b, c ) не существуют.

Следовательно, ответ — нет, такие натуральные числа ( a, b, c ) не существуют.