Давай обозначим количество книг в первой коробке как ( x ), а количество книг во второй коробке как ( y ).

Согласно условию, отношение книг в первой и второй коробках:
[
\frac{x}{y} = \frac{5}{3}
]

Это можно записать как:
[
3x = 5y \quad (1)
]

Также известно, что после того, как из первой коробки в вторую положили 15 книг, во второй коробке стало на 4 книги больше, чем в первой. Это можно записать как:
[
y + 15 = x - 15 + 4
]

Упростим это уравнение:
[
y + 15 = x - 11 \quad (2)
]

Теперь у нас есть система уравнений (1) и (2). Подставим выражение для ( y ) из (1) в (2).

Из (1) можно выразить ( y ):
[
y = \frac{3x}{5}
]

Подставим это значение в (2):
[
\frac{3x}{5} + 15 = x - 11
]

Умножим все уравнение на 5, чтобы избавиться от дроби:
[
3x + 75 = 5x - 55
]

Переносим все ( x ) в одну сторону, а числа в другую:
[
75 + 55 = 5x - 3x
]
[
130 = 2x
]
[
x = 65
]

Теперь подставим ( x ) обратно, чтобы найти ( y ):
[
y = \frac{3 \cdot 65}{5} = 39
]

Таким образом, количество книг во второй коробке изначально составило ( \boxed{39} ).

Проверка:
Если в первой коробке 65 книг, то по условию отношение ( 65:39 ) даёт ( 5:3 ). После переноса 15 книг в вторую коробку, в первой остается ( 65 - 15 = 50 ), а во второй становится ( 39 + 15 = 54 ). Вторая коробка тогда на 4 книги больше первой, ( 54 = 50 + 4 ). Условия задачи выполнены.