Для решения задачи сначала необходимо проанализировать функцию ( y = \frac{|x|}{x} - \frac{2}{|x|} ).

Функция ( \frac{|x|}{x} ) принимает два значения:

Когда ( x > 0 ), ( \frac{|x|}{x} = 1 ).Когда ( x < 0 ), ( \frac{|x|}{x} = -1 ).

Следовательно, можно разложить нашу функцию на два случая для ( y ):

Для ( x > 0 ):
[
y = 1 - \frac{2}{x}
]

Для ( x < 0 ):
[
y = -1 + \frac{2}{|x|} = -1 + \frac{2}{-x}
]
Здесь ( |x| = -x ), поэтому:
[
y = -1 - \frac{2}{x}
]

Теперь можем записать функцию в целом виде:

( y = 1 - \frac{2}{x} ) для ( x > 0 )( y = -1 - \frac{2}{x} ) для ( x < 0 )

Следующим шагом будет нахождение точек пересечения прямой ( y = p ) с графиком функции.

Сначала найдем точки пересечения для ( x > 0 ) (график функции ( y = 1 - \frac{2}{x} )):
[
p = 1 - \frac{2}{x} \implies \frac{2}{x} = 1 - p \implies x = \frac{2}{1 - p}
]

Здесь точка пересечения существует только если ( 1 - p > 0 ), т. е. ( p < 1 ).

Теперь рассмотрим случай ( x < 0 ) (график функции ( y = -1 - \frac{2}{x} )):
[
p = -1 - \frac{2}{x} \implies \frac{2}{x} = -1 - p \implies x = \frac{2}{-1 - p}
]

Точка пересечения будет существовать только если ( -1 - p < 0 ) или ( p > -1 ).

Подведем итог:

Для существования точек пересечения с графиком ( y = 1 - \frac{2}{x} ) необходимо ( p < 1 ).Для существования точек пересечения с графиком ( y = -1 - \frac{2}{x} ) необходимо ( p > -1 ).

Теперь мы ищем значения ( p ) такие, что прямая ( y = p ) пересекает график функции ровно в двух точках. Это происходит в случае, когда прямая пересекает одну из ветвей функции, но не пересекает другую.

Таким образом:

Если ( p < -1 ), прямая не пересекает график (нет решений).Если ( -1 < p < 1 ), прямая пересекает обе ветви (две точки пересечения).Если ( p = -1 ), прямая касается графика (одна точка пересечения).Если ( p = 1 ), прямая касается графика (одна точка пересечения).Если ( p > 1 ), прямая не пересекает график (нет решений).

Итак, прямая ( y = p ) имеет ровно две общие точки с графиком функции при значениях:
[
-1 < p < 1
]